进制基础（幼儿园数学）

一、为什么要有数字？为什么要学进制？

• 现实世界需要数字来方便描述。
• 计算机用数字描述世界，内部存储全部是二进制（0和1）。
• 计算机既可以描述现实存在的规则（如台球游戏），也可以描述全新的规则（如搜索引擎算法）。
• 学习进制，本质是理解计算机如何用数字干活。
• 计算机是‘可计算数学逻辑’在物理约束下的一种离散化、时序化的工程近似实现。

二、进制的定义

• 十进制：由十个符号组成，分别是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，逢十进一。
• 九进制：由九个符号组成，分别是 0,1,2,3,4,5,6,7,8，逢九进一。
• 十六进制：由十六个符号组成，分别是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F，逢十六进一。

通用定义：N 进制由 N 个符号组成，逢 N 进一。

三、课堂练习：从零开始数数

1. 二进制从 0 写到 30

00001, 00010, 00011, 00100, 00101, 00110, 00111, 01000, 01001, 01010, 
01011, 01100, 01101, 01110, 01111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 
10101, 10110, 10111, 11000, 11001, 11010, 11011, 11100, 11101, 11110, 
11111, 100000, 100001, 100010, 100011, 100100, 100101, 100110, 100111, 
101000, 101001, 101010, 101011, 101100, 101101, 101110, 101111, 110000, 
110001, 110010 

2. 八进制从 0 写到 80

1  2  3  4  5  6  7 10  
11 12 13 14 15 16 17 20  
21 22 23 24 25 26 27 30  
31 32 33 34 35 36 37 40  
41 42 43 44 45 46 47 50 
51 52 53 54 55 56 57 60  
61 62 63 64 65 66 67 70 
71 72 73 74 75 76 77 100  
101 102 103 104 105 106 107 110 
111 112 113 114 115 116 117 120 

四、进制的本质

• 十进制并不一定非要是 0~9，符号可以任意指定。
• 例如：定义十进制符号为 m,x,z,6,5,8,o,c,0,2或&,#,(,|,',),!,:,/,=那么在这些符号上的运算规则完全由查表决定。
• 如果通信双方私自定义一套进制符号，外人无法直接看懂，这就形成了加密。
• 本质：N 个符号 + 逢 N 进一，符号可以自定义，运算规则通过查表得出。

五、课后思考

• 2 + 3 = 1 在什么条件下成立？
• 将下面的二进制数用十六进制表示
  1100 1011 0101 0100 1110 1011 0101 0111 1011 0100 1010 1011
  ∎ 0xCB54EB57B4AB
• 将下面十六进制数用二进制表示
  487FDC120ACE69B953FE
  ∎

0100 1000 0111 1111 1101 1100  
0001 0010 0000 1010 1100 1110 
0110 1001 1011 1001 0101 0011 
1111 1110 

• 二进制从1写到100

0000001 0000010 0000011 0000100 0000101 0000110 0000111 0001000 
0001001 0001010 0001011 0001100 0001101 0001110 0001111 0010000 
0010001 0010010 0010011 0010100 0010101 0010110 0010111 0011000 
0011001 0011010 0011011 0011100 0011101 0011110 0011111 0100000 
0100001 0100010 0100011 0100100 0100101 0100110 0100111 0101000 
0101001 0101010 0101011 0101100 0101101 0101110 0101111 0110000 
0110001 0110010 0110011 0110100 0110101 0110110 0110111 0111000 
0111001 0111010 0111011 0111100 0111101 0111110 0111111 1000000 
1000001 1000010 1000011 1000100 1000101 1000110 1000111 1001000 
1001001 1001010 1001011 1001100 1001101 1001110 1001111 1010000 
1010001 1010010 1010011 1010100 1010101 1010110 1010111 1011000 
1011001 1011010 1011011 1011100 1011101 1011110 1011111 1100000 
1100001 1100010 1100011 1100100 1100101 1100110 1100111 1101000 

作者题外话：这里你可以发现每一个数行列都是唯一对应的，也就意味着可以通过行列确定对应的数

六、计算机与数字的关系

1. 计算机内部所有数据（程序、图片、声音）都以二进制存储。
2. 受硬件限制（高/低电平），二进制只有 0 和 1，足以表达一切。
3. 因为二进制书写太长，人们用十六进制作为简写形式。
4. 四位二进制能表示的范围：0000 ~ 1111，正好对应 0 ~ F。

七、进制运算——查表法

核心思想：进制不需要互相转换，一切运算都通过查表（数数）实现。

1. 八进制加法表（通过数数构建）

例如：1+7 就是从 1 往后数 7 个，1→2→3→4→5→6→7→10，所以 1+7=10。

完整加法表如下

2. 八进制乘法表（由加法表推导）

例如：3×5 = 5+5+5 = 12 + 5 = 17（查加法表得出）。
完整乘法表（下三角）：

减法和除法同样是查加法表和乘法表，只不过方向反过来。

八、课堂小测（八进制运算）

    277         276         236         234
+   333     *    54     -    54     /     4
————————   ——————————   ————————   ——————————
    632        1370         162          47
              1666
           ——————————
              20250

九、课后作业

1. 编写 7 进制 加法表和乘法表，并计算：

• 23456 + 54356 = ?
• 5621 - 653 = ?
• 234 × 65 = ?

  23456       5621        234
+ 54356     -  653      x  65
————————   ————————    ————————
 111145       4635       1536
                        2103
                       ————————
                        22566  

1. 编写 十六进制 加法表和乘法表，并计算：

   我没招了，十六进制表格太大了，上面7-8进制还是写过限制尺寸的，在手机上根本看不了的效果，这里放图片了

   实际上博客里直接用代码实现的地方博主都是实操过的，用代码块实现主要是为了方便复现

   

   

   • 2D4E6 + CF3A6 = ?
   • 5FD1 - E5A = ?
   • 2CA × A5 = ?

   2D4E6      5FD1        2CA
 + CF3A6    -  E5A      x  A5
——————————  ————————   ————————
   FC88C      5177        DF2
                        1BE4
                      —————————
                        1CC32  

提示：所有运算请用查表法，不要先转成十进制再转回来。进制本质就是数数。